Spielst Du auch so gerne? Mit Karten, Würfeln, oder hast Du vielleicht schon mal Kreuzchen auf dem Lottoschein Deiner Eltern gemacht? Auch wenn Du Dich dabei sehr anstrengst, meistens gehört eine Menge Zufall dazu. Wie die Karten verteilt sind, ob Du viele 6er würfelst oder gar im Lotto Geld gewinnst, hängt vom Zufall ab. In der Mathematik befasst sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung damit, vorherzusagen, wie groß Deine Chancen sind, bei einem solchen Spiel zu gewinnen, oder ob es sich lohnt, Lotto zu spielen. Aber wie funktioniert das genau? TK-Logo verrät es Dir...
Der Fußball liegt in Nachbars Garten...
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Oh Schreck! Ihr habt den Fußball in Nachbars Garten geschossen. Was nun? Dein bester Freund schlägt vor, ihr lost aus, wer ihn holen muss. Du nimmst eine Euro-Münze aus dem Portemonnaie und fragst: Kopf oder Zahl? Das machen die Schiedsrichter am Anfang eines Fußballspiels übrigens auch immer, um die Seiten auszulosen.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis
Eine Münze zu werfen, ist eine gute Methode, um eine Entscheidung
zwischen zwei Möglichkeiten zu treffen. Es gibt zwei mögliche
Ergebnisse: Kopf oder Zahl - beide sind gleich wahrscheinlich. Man
sagt, die Chance beträgt für jede Seite 50:50. Oder die
Wahrscheinlichkeit, dass Du gewinnst, ist genauso groß, wie die
Wahrscheinlichkeit, dass Dein Freund gewinnt.
Generell kann man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis so berechnen:
W (Ereignis) =
Anzahl der günstigen Fälle /
Anzahl aller möglichen Fälle
In diesem Beispiel wäre die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Kopf":
W (Kopf) =
1/2, denn die Anzahl der günstigen Fälle ist 1, nämlich nur "Kopf", die Anzahl der möglichen Fälle ist 2, es gibt Kopf oder Zahl.
Damit liegen Wahrscheinlichkeiten, so haben es die Mathematiker festgelegt, immer zwischen 0 und 1. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, das Ereignis wird mit Sicherheit nicht eintreten. Beim Werfen einer Münze würde das zum Beispiel heißen, Kopf und Zahl erscheinen gleichzeitig - das geht natürlich nicht. Ist die Wahrscheinlichkeit dagegen 1, so tritt das Ereignis mit Sicherheit ein. Im Fall der Münze also: "Kopf oder Zahl" - eines von beiden fällt immer, wenn die Münze nicht senkrecht im Rasen stecken bleibt. Möchte man auf diese Weise eine faire Entscheidung herbeiführen, muss man also dafür sorgen, dass die äußeren Bedingungen auch fair sind. Die Münze darf zum Beispiel nicht gezinkt sein, so dass eine Seite Übergewicht hat, und beim Werfen solltest Du sie in Drehung versetzen, damit es nicht heißt, Du hättest sie mit Absicht auf eine Seite geworfen.
Überprüfe die Wahrscheinlichkeit im Experiment
Kopf oder Zahl? Wirf eine Münze und überprüfe, ob Kopf und Zahl gleich oft kommen...
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Ob beim Münzwurf tatsächlich die vorhergesagte Wahrscheinlichkeit eintritt und genauso oft Kopf wie Zahl fällt, das kannst Du leicht überprüfen. Nimm eine Münze, werfe sie in die Luft und notiere, ob Kopf oder Zahl gefallen ist. Dieses Experiment solltest Du viele Male hintereinander machen – vielleicht 50 oder sogar 100 Mal. Hierbei kannst Du zwei wichtige Dinge beobachten:
Kopf und Zahl fallen nicht immer abwechselnd. Manchmal wirfst Du dreimal oder sogar viermal hintereinander Kopf. Das erscheint Dir unwahrscheinlich? Nun, ob im nächsten Wurf Kopf oder Zahl fällt, ist ganz unabhängig davon, welches Ergebnis der vorherige Wurf hatte. Das Spiel beginnt jedes Mal von Neuem. Man sagt auch, der Zufall hat kein Gedächtnis. Es kann also passieren, dass man nach wenigen Würfen oder auch zwischendurch mal weit von einem ausgeglichenen Verhältnis entfernt ist.
Das Gesetz der großen ZahlenDu wirst allerdings auch feststellen, dass sich das Verhältnis von Kopf und Zahl immer weiter der vorausgesagten 50:50 annähert, je mehr Versuche Du machst. Man nennt dieses Verhalten "das Gesetz der großen Zahlen". Es besagt, dass Wahrscheinlichkeiten nicht das nächste Ereignis genau vorhersagen können, sondern nur im Mittel über sehr viele Ereignisse stimmen. Wann Du also das erste Mal "Kopf" werfen wirst, kann Dir auch kein Mathematiker vorhersagen.
Das gleiche Experiment kannst Du auch mit einem Würfel machen:
Notiere dann, wie oft Du jede Zahl geworfen hast. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder eine 6 zu würfeln, kannst Du jetzt schon selber ausrechnen, oder? Sie beträgt 1/6, denn es gibt sechs mögliche Ergebnisse. Und alle sind gleich wahrscheinlich. Es ist also genauso schwer, auf Kommando eine 1 zu würfeln wie eine 6. Allerdings ist es fünfmal so häufig, keine 6 zu Würfeln. Denn "keine 6" bedeutet eine 1, 2, 3, 4 oder 5. Und für dieses Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit 5/6.
Mit einem Würfel hättet Ihr übrigens auch Eure Fußball-Entscheidung treffen können. Kannst Du Dir denken, wie? Zum Beispiel, wer zuerst eine 6 würfelt, oder eine 1. Oder Du hättest Dir die geraden Zahlen als Treffer ausgesucht und Dein Freund die ungeraden. In allen Fällen hättet Ihr beide auch die gleichen Chancen gehabt.
Übrigens... Manche Leute versuchen übrigens, dem Zufall beim Lotto ein bisschen auf die Sprünge zu helfen. Sie setzen auf besondere Zahlen – Geburtsdaten, Glückszahlen, oder sie kreuzen Muster an. Davon raten Experten allerdings ab. Denn: solche Zahlenkombinationen werden meistens von vielen Menschen angekreuzt. Sollte also einmal der – unwahrscheinliche – Fall eintreten, dass Deine Zahlen gewinnen, dann wäre es doch toll, wenn Du eine einzigartige Kombination hast und den Gewinn nicht mit anderen teilen müsstest. Diesen Tipp kannst Du ja mal Deinen Eltern oder Großeltern geben, wenn Sie den nächsten Lottoschein ausfüllen!
Spiele und ChancenNicht immer sind die Gewinnchancen so groß wie beim Spiel "Kopf oder Zahl". Hier gibt es ja nur zwei Möglichkeiten. Beim Lotto zum Beispiel sieht das ganz anders aus. Da ist die Zahl der möglichen Zahlenkombinationen so riesig, dass die Gewinnchance geradezu verschwindend gering ist. Vielleicht hast Du auch schon mal mit Deinen Eltern am Samstagabend vor dem Fernseher gesessen und Ihr habt gespannt die Ziehung der Lottozahlen mit den Kreuzchen auf Eurem Lottoschein verglichen. Womöglich, als der letzte Jackpot wieder auf einige Millionen Euro angewachsen war? Vermutlich gehörtet Ihr nicht zu den glücklichen Gewinnern. Denn die Erfolgschance für sechs Richtige liegt nur bei 1:13.983.816. Trotzdem geben jede Woche viele Millionen Menschen einen Lottoschein ab – und bezahlen auch noch Geld dafür. So ist das halt mit dem Zufall und den Wahrscheinlichkeiten. Jeder hofft irgendwie, dass er vielleicht Glück hat und zufällig die richtigen Zahlen angekreuzt hat.
Noch ein Beispiel: Bonbons
In einer Dose sind 60 Bonbons. 15 rote, 10 grüne, 20 gelbe und 12
orange und 3 blaue, alle gut gemischt. Du greifst mit geschlossenen
Augen hinein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, einen grünen
Bonbon zu ziehen? Und für einen grünen oder gelben?
So kannst Du es ausrechnen:
W (grün) = 10/60 = 1/6. Das heißt, im Schnitt müsstest Du nach sechs Mal in die Dose greifen einen grünen Bonbon erwischen.
W (grün oder gelb) = (10+20)/60 = 30/60 = 1/2
Nach nur zwei Versuchen könntest Du einen grünen oder gelben Bonbon
ziehen. Aber, wie Du inzwischen weißt: Es kann auch länger dauern...
