Ist Mathematik die Sprache der Natur?

Was haben eine Sonnenblume, ein Kiefernzapfen und ein Gänseblümchen mit Mathematik zu tun? Auf den ersten Blick nicht viel, würdet Ihr sagen, oder? Aber wenn Ihr mal genau hinschaut, könnt Ihr auf den Kiefernzapfen und dem Blütenkorb der Sonnenblume Spiralmuster entdecken. Die sind allerdings gar nicht so gleichmäßig, wie sie auf den ersten Blick erscheinen. Ihr werdet feststellen: Die Anzahl der Spiralen, die rechtsherum drehen, ist nicht gleich der, die linksherum drehen. Aber auf magische Weise kommen immer bestimmte Zahlen vor: 13, 21, 34, 55. Auch bei der Anzahl der Blütenblätter einer Blume findet man – nicht nur, aber bevorzugt – bestimmte Zahlen: 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Die Folge der Fibonacci-ZahlenDiese Zahlen erscheinen Euch vielleicht willkürlich. Doch sie sind auf eine besondere Weise miteinander verbunden. Wenn man sie in eine Reihe schreibt und der Größe nach sortiert, bekommt man diese Zahlenfolge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Könnt Ihr Euch denken, wie die nächste Zahl lautet?

Vielleicht habt Ihr erkannt, dass die folgende Zahl immer die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist. Als nächstes kommt also die 144 (55 + 89), dann die 233 (89 + 144) und so weiter. Zahlen, die auf diese Weise gebildet werden, heißen Fibonacci-Zahlen (sprich "Fibonatschi"). Sie sind benannt nach dem italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci. Er hat ungefähr von 1170 bis 1240 gelebt und auf seinen Reisen im Mittelmeerraum das gesamte mathematische Wissen dieser Regionen in einem Buch mit dem Titel "Liber abbaci – Buch der Rechenkunst" zusammengetragen. Unter anderem empfahl er darin die Einführung der arabischen Ziffern, die wir auch heute noch benutzen. Sie sollten die recht unpraktischen römischen Zahlen ersetzen.

Die Kaninchen-FrageAuf seine Zahlenfolge ist Leonardo Fibonacci allerdings nicht durch die Beobachtung von Pflanzen gekommen, sondern er hat sich Gedanken über die Vermehrung von Kaninchen gemacht. Sie bekommen sehr regelmäßig jeden Monat zwei Junge. Nun stellte sich Fibonacci die Frage, wie viele Kaninchen es dann zum Beispiel nach fünf oder nach acht Monaten gibt. Für seine Überlegungen ging er allerdings von sehr "mathematischen" Kaninchen aus: Er startete mit einem Paar und nahm an, dass zwischendurch keines stirbt. Jedes Kaninchen wird im ersten Monat erwachsen und bekommt ab dem zweiten Monat jeden Monat zwei Junge und zwar immer ein Männchen und ein Weibchen.

Am Anfang gibt es ein Kaninchenpaar. Im ersten Monat werden sie geschlechtsreif, es bleibt bei einem Paar. Im zweiten Monat werfen sie ihre ersten beiden Jungen. Da sind es also zwei Paare. Im dritten Monat wirft das ursprüngliche Paar seine zweiten beiden Jungen, das andere Paar wird erst geschlechtsreif. Da sind es also drei Paare. Im vierten Monat wirft das ursprüngliche Paar wieder zwei Junge, und das erstgeborene Paar seine ersten beiden Jungen. Das heißt, im vierten Monat sind alle drei Paare des dritten Monats noch da, aber nur diejenigen zwei, die schon zwei Monate vorher da waren, können jetzt schon Nachkommen gebären. Wir haben also fünf Paare. Im fünften Monat sind alle fünf Paare des vierten Monats noch da, und alle, die auch schon im dritten Monat da waren, gebären jeweils ein Paar Junge. Das macht zusammen acht Paare. Und so geht es immer weiter. Ihr könnt leicht erkennen, dass die Anzahl der Kaninchenpaare in einem Monat gleich der Summe der Anzahlen aus den beiden Vormonaten ist. Und schon habt Ihr die Fibonacci-Zahlenfolge. Damit könnt Ihr auch leicht ausrechnen, wie viele es Paare im achten Monat gibt, nämlich 34.

Goldener SchnittDie Fibonacci-Zahlen können nicht nur die Vermehrung von Kaninchen und anderen Tieren beschreiben, sie haben auch mathematisch ganz erstaunliche Eigenschaften. Wenn Ihr zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen durcheinander dividiert, so werdet Ihr merken, dass sich das Ergebnis immer mehr einer bestimmten Zahl annähert, je größer die benachbarten Fibonacci-Zahlen sind: 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,6667; 8:5=1,6; .... 34:21=1,61905; 55:34=1,6176; 89:55=1,61818.... Diese Zahl ist keine ganze Zahl und man kann sie gar nicht so einfach aufschreiben, weil sie unendlich viele Stellen hinter dem Komma hat. Leicht abgerundet kommt dabei 1,618 heraus. Die Zahl ist ebenfalls sehr berühmt. Sie heißt: der Goldene Schnitt.

Der Name deutet schon an, dass dahinter eine geometrische Konstruktion steht. Man sagt, eine Strecke wird im Goldenen Schnitt geteilt, wenn das Verhältnis der beiden Teile, und zwar des längeren zum kürzeren, genau so ist wie das Verhältnis der Gesamtstrecke zum längeren Teil.

Der Goldene Schnitt ist unabhängig von den Fibonacci-Zahlen schon seit der Antike bekannt und gilt als ein ideales Maß in der Geometrie und Kunst. Viele Maler haben danach zum Beispiel ihre Bilder aufgeteilt: in Himmel und Erde, oder sie haben eine Hauswand nicht in die Mitte des Bildes platziert sondern im Goldenen Schnitt. Aber auch die Natur scheint sich nach diesem Maß zu richten, wie Ihr oben bei den Pflanzen schon gesehen habt.

Zurück zu den PflanzenBei den Pflanzen ist es etwas komplizierter. Ihr Wachstum wird unter anderem von einem Hormon gesteuert, das für die besondere spiralförmige Anordnung der Blätter, Samen und Blütenblätter sorgt. Auch dabei kommt häufig der Goldene Schnitt vor, allerdings in etwas anderer Form: Dem Goldenen Schnitt einer Strecke entspricht der Goldene Winkel: 360 Grad : 1,618 = 222,5 Grad. Das heißt, so, wie der Goldene Schnitt eine Strecke teilt, teilt der Goldene Winkel den vollen Kreiswinkel von 360 Grad. Pflanzen legen ihre Blätter, Blütenblätter oder Samen oft so an, dass sie spiralförmig rund um den Stengel jeweils nach 222,5 Grad wachsen. Diese krumme Zahl hat zwei Vorteile: Zum einen können möglichst viele Samen – wie bei der Sonnenblume – ganz dicht auf eine Fläche gepackt werden. Und zum anderen kann es so auch nach vielen Runden nicht passieren, dass zwei (Blüten-)Blätter genau übereinander wachsen. Sie werden dort angelegt, wo am meisten Platz ist. Aber sie verdecken sich gegenseitig so wenig wie möglich, damit sie möglichst viel Sonnenlicht und Regenwasser abbekommen.

Text: Uta Deffke