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Primzahlen

Es gibt unendlich viele Zahlen; einige davon haben besondere Eigenschaften: Zum Beispiel sind die geraden Zahlen alle durch zwei teilbar und die Quadratzahlen kann man als Produkt von zwei gleichen Zahlen schreiben. Auch Primzahlen sind besonders. Weshalb und wie man sie in den unendlich vielen Zahlen aufspüren kann, verrät Dir TK-Logo.

Was sind eigentlich Primzahlen?

Durch welche Zahlen kann man die Zahl 20 teilen? Zum Beispiel durch 2, das ergibt 10. Oder durch 4, das ergibt 5. Die meisten Zahlen haben zwei oder mehr Teiler, die kleiner sind als sie selbst. Sie lassen sich also als Produkt von zwei oder mehreren kleineren Zahlen schreiben. Es gilt zum Beispiel: 20 = 2 x 10 oder 20 = 4 x 5

Es gibt aber auch Zahlen, für die lassen sich nicht mehr als ein Teiler finden: 13 zum Beispiel oder 43. Du kannst sie nur so schreiben: 13 = 1 x 13 oder 43 = 1 x 43. Diese Zahlen sind Primzahlen. Was heißt das genau?

Übrigens... Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Lies Dir die Definition von Primzahlen genau durch – warum gehört sie nicht dazu? Genau: Man könnte zwar schreiben: 1 = 1 x 1, aber dann hat man nicht zwei verschiedene Teiler. Und mit Ausnahme der 2 sind alle Primzahlen ungerade Zahlen. Denn sonst wären sie nicht nur durch 1 und sich selbst sondern auch noch durch 2 teilbar.

Was sind Primzahlen?Ganze Zahlen, die größer als 1 sind und nicht als Produkt von zwei kleineren Zahlen geschrieben werden können, heißen Primzahlen. Man kann auch sagen: Primzahlen besitzen genau zwei verschiedene Teiler, nämlich die 1 und sich selbst. So lautet also die Definition von Primzahlen. Fallen Dir auf Anhieb noch ein paar Beispiele für Primzahlen ein? Zwischen 1 und 10 gibt es zum Beispiel genau 4 Primzahlen. Kannst Du sie finden? Richtig, sie lauten 2, 3, 5 und 7.

Das Sieb des Eratosthenes

Schon seit über 2000 Jahren sind die Menschen fasziniert von den Primzahlen. Leider sieht man einer Zahl nicht auf Anhieb an, ob sie eine Primzahl ist oder nicht. Eine Methode, um sie in der unendlich großen Zahlenmenge systematisch zu suchen, hat der Gelehrte Eratosthenes von Kyrene um 300 vor Christus in Ägypten entwickelt. Du kannst sie leicht selbst ausprobieren. Wenn Du zum Beispiel alle Primzahlen zwischen 1 und 100 finden willst, schreibe die Zahlen alle der Reihe nach auf, zum Beispiel in die erste Zeile 1 bis 20, in die zweite 21 bis 40 und so weiter.

Schreibe Dir die Zahlen auf und markiere die Primzahlen...

Du weißt schon, dass 1 keine Primzahl ist, kannst sie also durchstreichen. Nun nimmst Du die nächstgrößere Zahl, die 2. Von ihr weißt Du, dass sie eine Primzahl ist, denn sie ist nur als Produkt aus 1 und sich selbst schreibbar: 2 = 1 x 2. Kringel die 2 ein und streiche nun aus den nachfolgenden Zahlen alle Vielfachen von 2, also alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind. Da fällt schon mal die Hälfte der Zahlen heraus – nämlich alle geraden Zahlen!
Im nächsten Schritt nimmst Du die nächstgrößere Zahl: 3. Auch sie kannst Du einkringeln, denn Du weißt, dass sie außer der 1 keine kleineren Teiler hat – alle Vielfachen der kleineren Zahlen (in diesem Fall 2) hast Du ja schon durchgestrichen. Jetzt kannst Du alle Vielfachen der 3 durchstreichen, also 9, 15, 21 und so weiter.

Die nächste Zahl, die noch ohne Kringel oder Strich ist, ist die 5 – auch eine Primzahl! Kringel sie ein und streiche alle Vielfachen der 5 durch. So kannst Du nun fortfahren. Du siebst also nach und nach die Primzahlen aus der Zahlenmenge heraus – deswegen heißt die Methode "das Sieb des Eratosthenes". Alle Zahlen, die Du am Ende eingekringelt hast, sind Primzahlen, denn sie wurden nicht als Vielfache einer kleineren Zahl ausgestrichen. Sie sind also nicht durch kleinere Zahlen außer der 1 teilbar. Wie viele hast Du gefunden? Hier sind die Primzahlen im Überblick.

Wie viele Primzahlen gibt es?Eigentlich ist diese Methode ganz einfach, aber doch ziemlich zeitaufwändig, findest Du nicht? Wenn Du die Primzahlen bis eine Million suchen wolltest, würdest Du dafür ziemlich lange brauchen. Überhaupt – wie viele Primzahlen gibt es eigentlich? Diese Frage hat schon der griechische Mathematiker Euklid, der auch um 300 vor Christus lebte, beantwortet. Er hat nicht etwa nachgezählt – dann wäre er heute noch nicht fertig. Er hatte die Vermutung, dass es unendlich viele sind, so, wie es auch unendlich viele ganze Zahlen gibt. Wie es bei Mathematikern so üblich ist, hat Euklid seine Vermutung auch bewiesen.

Euklids BeweisUm seine Vermutung zu beweisen, nahm Euklid zunächst das Gegenteil seiner Behauptung an: Wenn es nicht unendlich viele Primzahlen gibt, dann müsste es doch eine Primzahl geben, die am größten ist. Logo, oder? Weil man die aber nicht genau kennt, kann man sie auch nicht als Zahl aufschreiben. Mathematiker nutzen in solchen Fällen einen Trick und bezeichnen so eine Zahl, die sie nicht genau kennen, mit einem Buchstaben, quasi als Platzhalter, zum Beispiel P. Euklid tat also einfach so, als wäre P die größte aller Primzahlen. Dann gelang es ihm allerdings, aus dieser angeblich größten Primzahl P eine noch größere Primzahl Q zu berechnen. Dazu multiplizierte Euklid die Zahl P mit allen anderen Primzahlen, die kleiner als P sind, und addierte am Ende noch eine 1 dazu: Q = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x ... x P + 1. Dass die Zahl Q eine Primzahl ist, konnte Euklid auch beweisen. Damit hatte er eine Primzahl Q gefunden, die größer ist als P. Und das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass P die größte Primzahl ist. Auch wenn er die Zahlen selbst nicht genau aufschreiben konnte sondern nur ihre Platzhalter, reichte das als Beweis aus.

Jetzt könntest Du noch auf die Idee kommen, dass statt P dann eben Q die gesuchte größte aller Primzahlen ist. Aber auch aus Q kann man – auf dieselbe Weise wie aus P – wieder eine Primzahl konstruieren, die noch größer als Q ist. Du ahnst schon, dass das jetzt unendlich lange so weiter gehen könnte. Und genau deshalb findet man keine größte Primzahl.

Dank dieses allgemeinen Beweises können wir sicher sein, dass es tatsächlich unendlich viele Primzahlen gibt. Allerdings gibt es keine Formel, nach der man sie alle berechnen könnte.

Stattdessen gibt es einen ständigen Wettlauf bei der Suche nach immer größeren Primzahlen. Ohne die Hilfe von Computern kamen die Menschen immerhin schon auf die 39-stellige Zahl: 170 141 183 450 469 231 731 687 303 715 884 105 727. Heute nutzen sie natürlich ausgeklügelte Computerprogramme dafür. Die aktuell größte Primzahl wurde 2008 von zwei US-Amerikanern in Los Angeles entdeckt und hat fast 13 Millionen Dezimalstellen.

PrimzahlzwillingeWenn Du Dir jetzt nochmal das Sieb des Eratosthenes anschaust, wirst Du feststellen, dass die Primzahlen ziemlich willkürlich in der Menge der Natürlichen Zahlen verteilt sind. Oder kannst Du ein Muster entdecken? Bisher jedenfalls ist dies keinem Mathematiker gelungen. Aber es gibt unter den Primzahlen ein paar besondere Kombinationen, zum Beispiel Primzahlzwillinge. So nennt man Primzahlen, die nah beieinander stehen und nur durch eine gerade Zahl voneinander getrennt sind. 11 und 13 oder 17 und 19 sind zum Beispiel Primzahlzwillinge, oder auch 41 und 43.

Zerleg Zahlen in Primzahlen!

Du kannst jede Zahl – mit Ausnahme der Primzahlen – als Produkt von Primzahlen schreiben. Am Anfang haben wir schon mal die 20 betrachtet. Es gilt: 20 = 2 x 10. Aber genauso gut kannst Du schreiben: 20 = 2 x 2 x 5, und das sind alles Primzahlen. Noch mehr Teiler (außer der 1 und der 20) hat die Zahl 20 nicht. Probiere es aus und finde die Primzahlzerlegung von 51, 75, 210, 3234. Hier erfährst Du, ob Du sie richtig zerlegt hast.

Obwohl heute fast jeder einen Computer hat und die Mathematiker schon lange über Primzahlen nachdenken und mit ihnen rechnen, bergen Primzahlen immer noch Geheimnisse. Zu den großen noch ungelösten Problemen der Mathematik überhaupt gehört "Goldbachs Vermutung". Sie ist benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach, der sie im Jahr 1742 in einem Brief an seinen Kollegen Leonard Euler schrieb. Sie lautet:

Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe von zwei Primzahlen schreiben.

Zum Beispiel lässt sich die Zahl 4 als Summe von 2 und 2 schreiben oder die Zahl 8 als Summe von 3 und 5. Du kannst es selber ausprobieren: Finde die Primzahl-Summanden von 10, 24, 36. Hast Du sie gefunden? Überprüfe Deine Lösungen.

Goldbachs Vermutung

"Goldbachs Vermutung" heißt immer noch Vermutung, weil es bisher niemandem gelungen ist, einen allgemein gültigen Beweis zu finden. Zwar hat niemand bisher ein Gegenbeispiel finden können, also eine gerade Zahl größer als 2, die sich nicht als Summe von zwei Primzahlen schreiben lässt. Aber das heißt ja nicht, dass es nicht vielleicht doch noch eines Tages gelingen könnte. Auch die Tatsache, dass bisher schon mindestens für alle Zahlen bis 10 hoch 18 (das ist eine 1 mit 18 Nullen) die zwei Primzahlen gefunden wurden, reicht als Beweis nicht aus.

Text: Uta Deffke

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