Fraktale

Die Natur hat eine Menge solcher Formen mit diesem System geschaffen. Fallen Dir noch welche ein? Du musst nur aus dem Fenster sehen oder durch Deine Straße gehen: Bäume, deren Äste wie Mini-Bäume aussehen, Farne, deren Blätter aus Mini-Farnen bestehen, Flüsse, die sich aus kleinen Flüssen speisen, in die noch kleinere Flüsschen fließen. So ähnlich ist das auch bei den Adern in unserem Körper, die sich immer weiter verzweigen. Formen, die in unterschiedlichen Größenordnungen ähnlich aufgebaut sind, heißen selbstähnlich. Das heißt, Teile dieser Formen sind wie verkleinerte Kopien der großen Form. Mathematiker nennen solche Formen Fraktale. Das Wort Fraktal stammt von dem lateinischen Wort "fractus" und bedeutet geteilt oder gestückelt.

Wie misst man eine Küste?Den Begriff "Fraktale" hat der französisch-amerikanische Mathematiker Benoît Mandelbrot in den 1970er Jahren erfunden. Er beschäftigte sich mit der Frage, wie er die Länge der englischen Küste am besten bestimmen könnte. Das ist gar nicht so einfach, denn Küstenlinien sind keine gerade Linien, ja, sie sind nicht einmal einfach krumme Linien oder gezackte Linien. Auch Küstenlinien sind Fraktale, ihre Struktur sieht aus unterschiedlichen Entfernungen immer ähnlich aus: Aus dem Flugzeug betrachtet machen Halbinseln einen ähnlichen Eindruck wie Felsen aus Höhe Deiner Augen oder kleine Steine aus der Perspektive einer Ameise. Das Problem bei der Längenmessung: Je genauer man hinschaut, desto mehr Ausbuchtungen entdeckt man. Wie soll man da bloß die genaue Länge bestimmen? Hast Du eine Idee?

Du könntest eine Landkarte nehmen und darauf mit einem Lineal nachmessen. Besonders genau wird Deine Messung dann aber nicht. Du könntest die Küstenlinie auf der Karte mit einem Faden nachbilden und ihn dann auseinanderziehen und messen. Schon besser, aber auch nicht sehr präzise. Oder Du machst Dich zu Fuß auf und misst die Küste mit einem Zollstock. Das wäre ganz schön aufwändig. Und es birgt weitere Tücken: Soll man den Umfang jeder Klippe mitrechnen? Jeden Felsen oder Stein berücksichtigen? Klar ist auf jeden Fall: Je genauer Du misst, desto länger wird die Küste. Denn wenn Du um eine Klippe herum misst, ist das länger als wenn Du ihren Umfang nicht berücksichtigst und nur ihren Durchmesser misst. Und wenn Du zusätzlich den Umfang jedes Felsen oder gar den der Sandkörner einbeziehst, dann kann die Küste sogar unendlich lang werden. Es ist also gar nicht möglich, ihre Länge – ohne Angabe der verwendeten Genauigkeit – exakt anzugeben.

Um solche komplizierten Formen zu beschreiben, reicht die gewöhnliche Geometrie nicht aus. Mandelbrot stellte fest, dass man viele Formen der Natur wie Wolken, Berge, Küstenlinien nicht mit einfachen geometrischen Formen wie Kugeln, Kegeln, Kreisen oder Linien beschreiben kann. Jedenfalls nicht, wenn die Beschreibung möglichst genau und realistisch sein soll. Deshalb erfand er die Fraktale und eine mathematische Beschreibung dafür. Damit konnte er ganz unterschiedliche Fraktale erzeugen und so ganz verschiedene natürliche Formen nachbilden. Besonders beeindruckend gelingt das bei den Farnen oder auch bei Bäumen.

Ein weiteres berühmtes Fraktal ist das Sierpinsky-Dreieck, das nach seinem Erfinder, dem polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinsky benannt ist. Wie es entsteht, zeigen die folgenden Bilder:

Fraktale sind nützlichMathematiker können Fraktale mit Formeln beschreiben und sie so mithilfe von Computern abbilden. So gelingt es ihnen, natürliche Formen viel besser nachzubilden als mit gewöhnlichen geometrischen Figuren. Zum Beispiel können sie nun Landschaften für Computerspiele konstruieren, die viel natürlicher wirken als vorherige Versuche.

Auch in der Medizin sind Fraktale nützlich. Sie dienen dazu, komplizierte Strukturen wie die Bronchien am Computer nachzubilden. Die Bronchien gehören zu unserem Atemsystem und sind ein weit und fein verästeltes Netz von Röhren, in denen die Atemluft zu den Lungenbläschen transportiert wird. So können Mediziner besser verstehen, wie der Transport von Sauerstoff durch die Bronchien und die Lunge ins Blut funktioniert. Das wiederum hilft ihnen, die Wirkung von Medikamenten vorherzusagen, die über die Atmung eingenommen werden, Asthmasprays zum Beispiel.

Text: Uta Deffke